1.1.4 Aplicação - Intervalo de Confiança
1. Cálculo de Intervalo de Confiança Usando t-Student¶
1.1. Dados Fornecidos¶
Os dados fornecidos são do AUC_PR:
- $x_1 = 0.769682$
- $x_2 = 0.758596$
- $x_3 = 0.762273$
- $x_4 = 0.776236$
- $x_5 = 0.760402$
1.2. Passo 1: Calcular a Média Amostral ($\bar{x}$)¶
A média amostral ## Passo 1: Calcular a Média Amostral ($\bar{x}$) é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número total de observações ($n$):
$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} $$
$$ \bar{x} = \frac{0.769682 + 0.758596 + 0.762273 + 0.776236 + 0.760402}{5} $$
$$ \bar{x} = \frac{3.827189}{5} $$
$$ \bar{x} = 0.765438 $$
1.3. Passo 2: Calcular o Desvio Padrão Amostral ($s$)¶
Para calcular o desvio padrão amostral, utilizamos a fórmula:
$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} $$
Primeiro, calculamos cada termo $(x_i - \bar{x})^2$:
\begin{align*} (x_1 - \bar{x})^2 &= (0.769682 - 0.765438)^2 = 0.00001806 \\ (x_2 - \bar{x})^2 &= (0.758596 - 0.765438)^2 = 0.00004683 \\ (x_3 - \bar{x})^2 &= (0.762273 - 0.765438)^2 = 0.00000998 \\ (x_4 - \bar{x})^2 &= (0.776236 - 0.765438)^2 = 0.00011589 \\ (x_5 - \bar{x})^2 &= (0.760402 - 0.765438)^2 = 0.00002534 \end{align*}
Agora, somamos os quadrados das diferenças:
$$ \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 0.00001806 + 0.00004683 + 0.00000998 + 0.00011589 + 0.00002534 = 0.0002161 $$
Calculando o desvio padrão amostral ((s)):
$$ s = \sqrt{\frac{0.0002161}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{0.0002161}{4}} = \sqrt{0.00005403} \approx 0.00735 $$
1.4. Passo 3: Calcular o Intervalo de Confiança¶
O intervalo de confiança para a média de uma amostra, usando a distribuição t-Student, é dado por:
$$ IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $$
2. Entendendo o $𝛼$¶
Para um intervalo de confiança de 95%, o valor de $𝛼$ representa a probabilidade de erro, ou seja, a área das caudas da distribuição t-Student que não é coberta pelo intervalo de confiança. Neste caso, $𝛼=1−0.95=0.05$, ou 5%. Isso significa que há uma chance de 5% de que a média verdadeira não esteja dentro do intervalo calculado.
3. Divisão de $𝛼$ entre as Caudas¶
Como o intervalo de confiança é simétrico em torno da média amostral, o valor de $𝛼$ é dividido igualmente entre as duas caudas da distribuição. Portanto, cada cauda tem uma área de $𝛼/2=0.025$.
3.1. Escolha do valor de $t_{\alpha/2, n-1}$¶
O valor de $t_{\alpha/2, n-1}$ é obtido da tabela t-Student para $n−1=4$ graus de liberdade, correspondendo a uma cauda de 2.5% em cada lado da distribuição. O valor típico para um nível de confiança de 95% e 4 graus de liberdade é aproximadamente 2.776.
Substituindo os valores:
- $\bar{x} = 0.765438$
- $s = 0.00735$
- $n = 5$
- $t_{0.025, 4} \approx 2.776$
O erro padrão da média (SEM) é calculado como:
$$ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.00735}{\sqrt{5}} = \frac{0.00735}{2.236} \approx 0.003285 $$
- $s$: Desvio padrão da amostra, que mede a dispersão dos dados em relação à média amostral.
- $𝑛$: Tamanho da amostra, ou seja, o número total de observações na amostra.
Agora, calculamos o intervalo de confiança:
$$ IC = 0.765438 \pm 2.776 \times 0.003285 $$
$$ IC = 0.765438 \pm 0.009113 $$
$$ IC = [0.756325, 0.774551] $$
4. Resultado Final¶
O intervalo de confiança de 95% para os dados fornecidos é aproximadamente:
$$ IC = [0.756325, 0.774551] $$
- Ou seja, com 95% de confiança, podemos afirmar que a média verdadeira dos dados está entre 0.756325 e 0.774551.
5. Interpretação do Intervalo de Confiança¶
5.1. Significado do Intervalo de Confiança¶
Intervalo Calculado: $[0.756325,0.774551]$.
Isso significa que, com 95% de confiança, a média verdadeira da população da qual a amostra foi retirada está entre 0.756325 e 0.774551.
Média Amostral ($\bar{x}$): 0.765438.
A média amostral é a melhor estimativa pontual da média verdadeira da população. O intervalo de confiança fornece uma faixa ao redor dessa média, refletindo a incerteza da estimativa.
5.2. Nível de Confiança de 95%¶
O nível de confiança de 95% implica que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes (com diferentes amostras do mesmo tamanho), em 95% das vezes, o intervalo calculado conteria a verdadeira média da população.
5.3. Interpretação do Erro Padrão da Média (SEM)¶
Erro Padrão da Média (SEM): $0.003285$
O SEM nos diz o quanto a média amostral ($\bar{x}$) pode variar de uma amostra para outra. Nesse caso, o SEM de $0.003285$ indica que a média das amostras tende a variar em torno de $0.003285$ unidades em relação à média verdadeira da população.
5.4. Precisão da Estimativa¶
Intervalo Estreito: O intervalo relativamente estreito ($[0.756325,0.774551]$) indica que a estimativa da média amostral é bastante precisa. Isso ocorre porque o desvio padrão é pequeno e o tamanho da amostra é adequado para garantir uma boa estimativa.
Implicações Práticas: Em contextos práticos, como análise financeira ou pesquisa científica, essa precisão significa que podemos confiar que a média da população real está dentro do intervalo calculado com um alto nível de confiança.
6. Interpretação Generica do Intervalo de Confiança¶
Um intervalo de confiança de 95% para uma média amostral significa que, se coletarmos 100 amostras diferentes e calcularmos um intervalo de confiança para cada uma, esperamos que 95 desses intervalos contenham a verdadeira média da população.